#惯性导航# 3. 坐标系漫谈

3. 坐标系漫谈

1. 惯性参考坐标系

宇宙空间保持静止或匀速直线运动为参照物构成的参照坐标系，就称为惯性参照系

（由于万有引力等因素，真实的惯性系是不存在的）

1. 太阳中心惯性坐标系

   

2. 地心惯性坐标系

   

2. 地球坐标系

随地球一起转动$\to$ 非惯性系

地球相对于恒星（惯性空间）自转角速度，要大于地球相对太阳的自转角速度

（原因在与相对太阳坐标系分析地球自转角速度$\omega$时，需要再减去地球公转旋转角速度${\omega }^{\prime }$）

3. 地理坐标系

运载体相对地球的运动将相当于地理坐标系相对地球坐标系运动（转动）

$${\omega }_{\mathrm{地}\mathrm{理}\to \mathrm{惯}\mathrm{性}}={\omega }_{\mathrm{地}\mathrm{理}\to \mathrm{地}\mathrm{球}}+{\omega }_{\mathrm{地}\mathrm{球}\to \mathrm{惯}\mathrm{性}}$$

1. 地理坐标系相对地球坐标系

   

   

   

   

2. 地球坐标系相对惯性坐标系

   

3. 最终地理坐标系相对惯性坐标系

   

4. 载体坐标系

要点：机头对 $y$

要点：弹头对 $x$

运载体的俯仰角、横滚角和航向角统称为姿态角。姿态角是更具运载体坐标系相对地理坐标系的转角决定的 。

1. 航向角 $\psi$

   地理坐标系 $y_t$ 与载体坐标系横滚轴 $y_b$ 在水平面的投影 $y_h$ 的夹角，偏东为正

2. 俯仰角$\theta$

   $y_b$ 与 $y_h$ 的夹角，抬头为正（高于水平面）

3. 横滚角 $\gamma$

   $x_b$ 与其在水平面投影 $x_h$ 的夹角，右倾为正，左倾为负

5. 描述刚体角位置的方法

方向余弦法

1. 方向余弦

   

   $$\begin{gathered} R_x=\cos <\overrightarrow{R},\overrightarrow{i}> \\ {R}_y=\cos <\overrightarrow{R},\overrightarrow{j}> \\ {R}_z=\cos <\overrightarrow{R},\overrightarrow{k}> \end{gathered}$$

2. 两个坐标系之间的方向余弦

   $$\left[\begin{array}{c}{R}_x^0\\ R_y^0\\ R_z^0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\mathit{i}}_{{}_r},{\mathit{i}}_{{}_0})& \cos ({\mathit{j}}_{{}_r},{\mathit{i}}_{{}_0})& \cos ({\mathit{k}}_{{}_r},{\mathit{i}}_{{}_0})\\ \cos ({\mathit{i}}_{{}_r},{\mathit{j}}_{{}_0})& \cos ({\mathit{j}}_{{}_r},{\mathit{j}}_{{}_0})& \cos ({\mathit{k}}_{{}_r},{\mathit{j}}_{{}_0})\\ \cos ({\mathit{i}}_{{}_r},{\mathit{k}}_{{}_0})& \cos ({\mathit{j}}_{{}_r},{\mathit{k}}_{{}_0})& \cos ({\mathit{k}}_{{}_r},{\mathit{k}}_{{}_0})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{R}_x^r\\ R_y^r\\ R_z^r\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{c}{R}_x^r\\ R_y^r\\ R_z^r\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\cos ({\mathit{i}}_r,{\mathit{i}}_0)& \cos ({\mathit{i}}_r,{\mathit{j}}_0)& \cos ({\mathit{i}}_r,{\mathit{k}}_0)\\ \cos ({\mathit{j}}_r,{\mathit{i}}_0)& \cos ({\mathit{j}}_r,{\mathit{j}}_0)& \cos ({\mathit{j}}_r,{\mathit{k}}_0)\\ \cos ({\mathit{k}}_r,{\mathit{i}}_0)& \cos ({\mathit{k}}_r,{\mathit{j}}_0)& \cos ({\mathit{k}}_r,{\mathit{k}}_0)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{R}_x^0\\ R_y^0\\ R_z^0\end{array}\right]$$
   • 上述九个方向余弦可以组成方向余弦矩阵
   • 对于刚体坐标系的一个角位置，就有唯一的一组方向余弦与其对应
   • 方向余弦矩阵可以确定定点转动刚体在空间的角位置，其中 $C_r^0$ 是第一个， $r\to 0$ 称为 $r$ 对 0 系的方向余弦矩阵，$C_0^r$ 是第二个，$0\to r$ ，称为0系对 $r$ 系的方向余弦矩阵。

3. 两个方向余弦矩阵的性质

   

欧拉角法

1. 定义

   刚体坐标系相对参考坐标系的角位置，可以使用三次独立的三个转角来确定，这就是欧拉角法原理

2. 欧拉角的选取并不是唯一的

   • 第一次转动可以是刚体坐标系的任意一根轴
   • 第二次转动是其余两根 二选一
   • 第三次转动是在除了第二次转动的那一根外二选一即可

3. 欧拉角法和方向余弦法之间的联系

   假设第一次绕着 $x_0$ 轴转 $\alpha$ 角，第二次绕 $y_0$ 转 $\beta$ 角，第三次绕 $z_0$ 转 $\gamma$ 角。

   将各个坐标系分别记为 0 系、a 系、b系和 r系。

   $$C_0^a=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0& -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$$ $$C_a^b=\left[\begin{array}{ccc}\cos \beta & 0& -\sin \beta \\ 0& 1& 0\\ \sin \beta & 0& \cos \beta \end{array}\right]$$ $$C_b^r=\left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma & \sin \gamma & 0\\ -\sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$ $$\begin{gathered} C_0^r=C_b^r{C}_a^b{C}_0^a= \\ \left[\begin{array}{ccc}\cos \beta \cos \gamma & \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \gamma & -\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\ -\cos \beta \sin \gamma & -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma & \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +\sin \alpha \cos \gamma \\ \sin \beta & -\sin \alpha \cos \beta & \cos \alpha \cos \beta \end{array}\right] \end{gathered}$$
   • 一组欧拉角可以唯一确定九个方向余弦
   • 一组方向余弦也可以唯一确定三个欧拉角
   $$\begin{array}{rl}& \alpha =\arctan (-T_{32}/T_{33})\\ & \beta =\arcsin (T_{31})\\ & \gamma =\arctan (-T_{21}/T_{11})\end{array}$$